Question

【题目】三角形ABC中，，AC=1，以B为直角顶点作等腰直角三角形BCD（A、D在BC两侧），当∠BAC变化时，线段AD的长度最大值为._______________.

Answer 1

【答案】3

【解析】

△ABC中由正弦定理得BDsin∠ABC＝sin∠BAC，在△ABD中由余弦定理得AD2＝BD2+AC2﹣2BDABcos（90°+∠ABC），可化为5+4sin（∠BAC﹣45°），由此可求得答案．

如图所示

△ABC中，AB，AC＝1，

由正弦定理得，

∴BCsin∠ABC＝ACsin∠BAC，

∴BDsin∠ABC＝sin∠BAC；

△ABD中，AD2＝BD2+AB2﹣2BDABcos（90°+∠ABC）

＝BD2+2+2BDsin∠ABC

＝AC2+AB2﹣2ACABcos∠BAC+2+2sin∠BAC

＝5﹣2cos∠BAC+2sin∠BAC

＝5+4sin（∠BAC﹣45°），

∴当∠BAC＝135°时AD2最大为9，AD最大值为3，

故答案为：3．