Question

5．关于曲线$C：\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=1$，有如下结论：
①曲线C关于原点对称；
②曲线C关于直线x±y=0对称；
③曲线C是封闭图形，且封闭图形的面积大于2π；
④曲线C不是封闭图形，且它与圆x²+y²=2无公共点；
⑤曲线C与曲线$D：|x|+|y|=2\sqrt{2}$有4个交点，这4点构成正方形．其中所有正确结论的序号为①②④⑤．

Answer 1

分析 ①，将方程中的x换成-x，y换成-y方程不变；
②，将方程中的x换成-y，y换成-x方程不变，；
③，由方程得x²＞1，y²＞1，故曲线C不是封闭图形；
④，联立曲线$C：\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=1$圆x²+y²=2，方程组无解，无公共点；
⑤，当x＞0，y＞0时，联立曲线C与x+y=2$\sqrt{2}$只有一解（$\sqrt{2}，\sqrt{2}$），根据对称性，共有有4个交点，这4点构成正方形，

解答 解：对于①，将方程中的x换成-x，y换成-y方程不变，故①正确；
对于②，将方程中的x换成-y，y换成-x方程不变，故②正确；
对于③，由方程得x²＞1，y²＞1，故曲线C不是封闭图形，故③错；
对于④，联立曲线$C：\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=1$圆x²+y²=2，方程组无解，无公共点，故④正确；
对于⑤，当x＞0，y＞0时，联立曲线C与x+y=2$\sqrt{2}$只有一解（$\sqrt{2}，\sqrt{2}$），根据对称性，共有有4个交点，这4点构成正方形，正确．
故答案为：①②④⑤

点评 本题考查了命题真假的判定，属于基础题