Question

10．已知O为坐标原点，F是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=-c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．

解答 解：由题意可设F（-c，0），A（-a，0），B（a，0），
令x=-c，代入椭圆方程可得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，可得P（-c，±$\frac{{b}^{2}}{a}$）．
设直线AE的方程为y=k（x+a），
令x=-c，可得M（-c，k（a-c）），令x=0，可得E（0，ka），
设OE的中点为H，可得H（0，$\frac{ka}{2}$），
由B，H，M三点共线，可得k_BH=k_BM，即$\frac{a-c}{a+c}$=$\frac{1}{2}$，即为a=3c，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$，
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．