Question

20．已知M、N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线MN上，且MP=2PN，设向量$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，则$\overrightarrow{OP}$=（　　）

• A． $\frac{1}{6}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{c}$
• B． $\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{c}$
• C． $\frac{1}{6}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{c}$
• D． $\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{c}$

Answer 1

分析 利用空间向量的三角形法则、平行四边形法则，把$\overrightarrow{OP}$用$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$和$\overrightarrow{OA}$线性表示即可．

解答 解：如图所示，
$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{ON}$+$\overrightarrow{NP}$，$\overrightarrow{ON}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$），$\overrightarrow{NP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{NM}$，$\overrightarrow{NM}$=$\overrightarrow{OM}$-$\overrightarrow{ON}$，$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$．
∴$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{ON}$+$\overrightarrow{NP}$
=$\overrightarrow{ON}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{NM}$
=$\overrightarrow{ON}$+$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OM}$-$\overrightarrow{ON}$）
=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{ON}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OM}$
=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$）+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$
=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OC}$
=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{c}$．
故选：C．

点评 本题考查了空间向量的线性运算问题，考查了数形结合的应用问题，是基础题目．