Question

11．已知虚数z满足$z+\frac{1}{z}∈R$，且|z-2|=2，求z．

Answer 1

分析 利用复数的运算法则、共轭复数的意义、复数相等的定义即可得出．

解答 解：设z=a+bi（a，b∈R，b≠0），则$z+\frac{1}{z}=（a+\frac{a}{{{a^2}+{b^2}}}）+（b-\frac{b}{{{a^2}+{b^2}}}）i∈R$，
得：$b-\frac{b}{{{a^2}+{b^2}}}=0$，即a²+b²=1  ①
又由|z-2|=2，得（a-2）²+b²=4     ②
解①②组成的方程组得：$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{4}\\ b=±\frac{{\sqrt{15}}}{4}\end{array}\right.$
所以  $z=\frac{1}{4}±\frac{{\sqrt{15}}}{4}i$

点评 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的意义、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．