Question

6．已知定义在R上的函数f（x）满足f（1-x）=f（1+x），且f（x）在[1，+∞）为递增函数，若不等式f（1-m）＜f（m）成立，则m的取值范围是（-∞，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 定义在R上的函数f（x）满足f（1-x）=f（1+x），可得函数f（x）关于直线x=1对称．f（x）在[1，+∞）为递增函数，f（x）在（-∞，1]为递减函数．不等式f（1-m）＜f（m）成立，即f（1+m）＜f（m）．对m分类讨论即可得出．

解答 解：定义在R上的函数f（x）满足f（1-x）=f（1+x），∴函数f（x）关于直线x=1对称．
f（x）在[1，+∞）为递增函数，f（x）在（-∞，1]为递减函数．
不等式f（1-m）＜f（m）成立，即f（1+m）＜f（m）．
∵1+m＞m．
则当m≥1时，f（1+m）＜f（m）不成立，舍去；
当m+1≤1，即m≤0时，总有f（m+1）＜f（m），）恒成立，因此m≤0满足条件；
当m＜1＜1+m时，即0＜m＜1．要使f（m）＞f（m+1）恒成立，必须点M（m，f（m））到直线x=1的距离大于点N（m+1，f（m+1））到直线x=1的距离，即1-m＞m+1-1，解得m$＜\frac{1}{2}$．∴$0＜m＜\frac{1}{2}$．
综上所述，m的取值范围是：（-∞，$\frac{1}{2}$）．
故答案为：（-∞，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了抽象函数的单调性对称性、不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．