Question

1．设min{m，n}表示m、n二者中较小的一个，已知函数f（x）=x²+8x+14，g（x）=min{（$\frac{1}{2}$）^x-2，log₂（4x）}（x＞0），若?x₁∈[-5，a]（a≥-4），?x₂∈（0，+∞），使得f（x₁）=g（x₂）成立，则a的最大值为（　　）

• A． -4
• B． -3
• C． -2
• D． 0

Answer 1

分析 根据新定义求出g（x）的函数解析式，再求出函数的g（x）的值域，再求出f（x）的值域，由?x₁∈[-5，a]（a≥-4），?x₂∈（0，+∞），使得f（x₁）=g（x₂）成立，故f（x）的值域是g（x）的子集，由此能求出实数a的最大值．

解答 解：当（$\frac{1}{2}$）^x-2=log₂（4x），解得x=1，
当0＜x≤1时，（$\frac{1}{2}$）^x-2≥log₂（4x），
当x＞1时，（$\frac{1}{2}$）^x-2＜log₂（4x），
∴g（x）=min{（$\frac{1}{2}$）^x-2，log₂（4x）}（x＞0）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（4x），0＜x≤1}\\{（\frac{1}{2}）^{x-2}，x＞1}\end{array}\right.$，
∴当0＜x≤1时，g（x）的值域为（-∞，2]，当x＞1时，g（x）值域为（0，2），
∴g（x）的值域为（-∞，2]
∵f（x）=x²+8x+14=（x+4）²-2，其对称轴为x=-4，
∴f（x）在[-5，-4]上为减函数，在（-4，a]上为增函数，
∵f（-5）=-1，f（a）=a²+8a+14
当-4≤a≤-3时，函数f（x）的值域为[-2，-1]，
当a＞-3时，函数f（x）的值域为[-2，a²+8a+14]，
∵?x₁∈[-5，a]（a≥-4），?x₂∈（0，+∞），使得f（x₁）=g（x₂）成立，
∴a²+8a+14≤2，
解得-3＜a≤-2，
综上所述a的范围为[-4，-2]，
∴a的最大值为-2，
故选：C

点评 本题综合考查了函数的性质，分类讨论等思想，难度较大，关键是解题思路要清晰．