Question

6．如果直线ax+by+1=0被圆x²+y²=25截得的弦长等于8，那么$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{{b}^{2}}$的最小值等于27+$18\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据直线ax+by+1=0被圆x²+y²=25截得的弦长等于8建立关系，找出a，b的关系，利用基本不等式求解即可．

解答 解：圆x²+y²=25，其圆心为（0，0，），半径r=5，
圆心O到直线l的距离d=$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$
弦长=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=8，
可得：${a}^{2}+{b}^{2}=\frac{1}{9}$，即9a²+9b²=1，
那么：（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{{b}^{2}}$）（9a²+9b²）=9+18+$\frac{9{b}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{18{a}^{2}}{{b}^{2}}$$≥27+2\sqrt{9×18}$=27+$18\sqrt{2}$
（当且仅当${b}^{2}=\sqrt{2}{a}^{2}$时取等号）．
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{{b}^{2}}$的最小值等于27+$18\sqrt{2}$．
故答案为：27+$18\sqrt{2}$

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的弦长的运用，根据截得的弦长等于8建立关系，找出a，b的关系是解决本题的关键．属于中档题．