Question

17．函数y=f（x）满足对任意x∈R都有f（x+2）=f（-x）成立，且函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，f（1）=4，则f（2016）+f（2017）+f（2018）=（　　）

• A． 12
• B． 8
• C． 4
• D． 0

Answer 1

分析 由已知得f（x）是周期为4的奇函数，由f（1）=4，得f（-1）=-f（1）=-4，f（2）=f（0）=0，由此能求出f（2016）+f（2017）+f（2018）的值．

解答 解：∵函数y=f（x）满足对任意x∈R都有f（x+2）=f（-x）成立，
且函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称
∴f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x）．
∴函数的周期为4．
∵函数f（x）为奇函数，∴f（0）=0，∴f（2）=-f（0）=0．
∵f（1）=4，∴f（-1）=-f（1）=-4，f（2）=f（0）=0，
f（2016）+f（2017）+f（2018）
=f（0）+f（1）+f（2）
=0+4+0
=4．
故选：C．

点评 本题考查函数值的求法，考查函数的对称性、周期性的运用，以及化简整理的运算能力，属于基础题．