Question

5．（1）求函数f（x）=xlnx-（1-x）ln（1-x）在0＜x≤$\frac{1}{2}$上的最大值；
 （2）证明：不等式x^1-x+（1-x）^x≤$\sqrt{2}$在（0，1）上恒成立．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；
（2）求出g（x）关于直线x=$\frac{1}{2}$对称，只需证明：x^1-x+（1-x）^x≤$\sqrt{2}$在（0，$\frac{1}{2}$]恒成立，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．

解答 （1）解：f′（x）=lnx+ln（1-x）+2，
令f′（x）=0，解得：x=$\frac{1}{2}$-$\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{1}{{e}^{2}}}$（记为x₀），
则f（x）在（0，x₀）递减，在（x₀，$\frac{1}{2}$]递增，
x→0⁺时，f′（x）→0，f（π）≤f（$\frac{1}{2}$）=0，即xlnx-（1-x）ln（1-x）≤0，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$]上的最大值是0；
（2）证明：∵g（x）=x^1-x+（1-x）^x满足：g（x）=g（1-x），
∴g（x）关于直线x=$\frac{1}{2}$对称，
故只需证明：x^1-x+（1-x）^x≤$\sqrt{2}$在（0，$\frac{1}{2}$]恒成立，
而g′（x）=x^1-x（-lnx+$\frac{1-x}{x}$）+（1-x）^x[ln（1-x）-$\frac{x}{1-x}$]，
而g（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{2}$，只需证明g′（x）≥0，①在（0，$\frac{1}{2}$]恒成立，
而-xlnx+1-x＞0，
即只需证明：$\frac{{（1-x）}^{1-x}}{{x}^{x}}$≥$\frac{-（1-x）ln（1-x）+x}{-xlnx+1-x}$②，
而由（1）可得0＜x≤$\frac{1}{2}$时，（1-x）^1-x≥x^x，即$\frac{{（1-x）}^{1-x}}{{x}^{x}}$≥1③，
要使②式成立，只需证明$\frac{-（1-x）ln（1-x）+x}{-xlnx+1-x}$≤1在（0，$\frac{1}{2}$]上恒成立，
即只需φ（x）=xlnx-（1-x）ln（1-x）+2x-1≤0④，
由（1）得：xlnx-（1-x）ln（1-x）≤0，而2x-1≤0，
从而④式成立，
综合③④可知②式成立，
故①式得证，从而原不等式得证．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想、是一道综合题．