Question

10．函数f（x）=ax³+（a-1）x²-x+2（0≤x≤1）在x=1处取得最小值，则实数a的取值范围是（　　）

• A． a≤0
• B． 0$≤a≤\frac{3}{5}$
• C． a≤$\frac{3}{5}$
• D． a≤1

Answer 1

分析 求出函数的导数，通过讨论a的范围，通过函数的最小值是f（1），得到a的范围即可．

解答 解：f′（x）=3ax²+2（a-1）x-1，x∈[0，1]，
a=0时，f′（x）=-2x-1＜0，
f（x）在[0，1]递减，f（x）_min=f（1）符合题意；
a≠0时，△=4（a²+a+1）＞0，
x₁=$\frac{1-a-\sqrt{{a}^{2}+a+1}}{3a}$，x₂=$\frac{1-a+\sqrt{{a}^{2}+a+1}}{3a}$，
a＞0时，若f（x）在x=1处取最小值，
只需x₁≤0且x₂≥1，解得：0＜a≤$\frac{3}{5}$，
a＜0时，若f（x）在x=1处取最小值，
只需x₁≥1或x₂≤0，解得：a＜0；
综上：a≤$\frac{3}{5}$；
故选：C．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．