Question

5．关于x的方程xlnx-kx+1=0在区间[$\frac{1}{e}$，e]上有两个不等实根，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （1，1+$\frac{1}{e}$]
• B． （1，e-1]
• C． [1+$\frac{1}{e}$，e-1]
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 转化方程为函数，通过求解函数的最值，转化求解k的范围即可．

解答 解：关于x的方程xlnx-kx+1=0，
即：lnx+$\frac{1}{x}$=k，令函数f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，若方程xlnx-kx+1=0在在区间[$\frac{1}{e}$，e]上有两个不等实根，
即函数f（x）=lnx$+\frac{1}{x}$，与y=k在在区间[$\frac{1}{e}$，e]有两个不相同的交点，
f′（x）=$\frac{1}{x}$$-\frac{1}{{x}^{2}}$，令$\frac{1}{x}$$-\frac{1}{{x}^{2}}$=0可得x=1，
当x∈[$\frac{1}{e}$，1）时f′（x）＜0，函数是减函数，当x∈（1，e）时，f′（x）＞0，函数是增函数，
函数的最小值为：f（1）=1，
f（$\frac{1}{e}$）=-1+e，f（e）=1+$\frac{1}{e}$．函数的最大值为：1+$\frac{1}{e}$．
方程f（x）+m=0在关于x的方程xlnx-kx+1=0在区间[$\frac{1}{e}$，e]上有两个不等实根，
则实数k的取值范围是（1，1+$\frac{1}{e}$]．
故选：A．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查数形结合以及转化思想的应用．