Question

19．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-{x}^{2}，x∈[0，1]}\\{-\frac{\sqrt{5}}{5}f（x-1），x∈[1，3]}\end{array}\right.$
（Ⅰ）求f（$\frac{5}{2}$）及x∈[2，3]时函数f（x）的解析式
（Ⅱ）若f（x）≤$\frac{k}{x}$对任意x∈（0，3]恒成立，求实数k的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-{x}^{2}，x∈[0，1]}\\{-\frac{\sqrt{5}}{5}f（x-1），x∈[1，3]}\end{array}\right.$可求f（$\frac{5}{2}$）的值，由x∈[2，3]⇒x-2∈[0，1]，可求得此时函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）依题意，分x∈（0，1]、x∈（1，2]、x∈（2，3]三类讨论，利用导数由f（x）≤$\frac{k}{x}$对任意x∈（0，3]恒成立，即可求得实数k的最小值．

解答 解：（Ⅰ）f（$\frac{5}{2}$）=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{1}{5}$f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{20}$．
当x∈[2，3]时，x-2∈[0，1]，所以f（x）=$\frac{1}{5}$[（x-2）-（x-2）²]=$\frac{1}{5}$（x-2）（3-x）．
（Ⅱ）①当x∈（0，1]时，f（x）=x-x²，
则对任意x∈（0，1]，x-x²≤$\frac{k}{x}$恒成立⇒k≥（x²-x³）_max，
令h（x）=x²-x³，则h′（x）=2x-3x²，令h′（x）=0，可得x=$\frac{2}{3}$，
当x∈（0，$\frac{2}{3}$）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；
当x∈（$\frac{2}{3}$，1）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，
∴h（x）_max=h（$\frac{2}{3}$）=$\frac{4}{27}$；
②当x∈（1，2]时，x-1∈（0，1]，所以f（x）=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$[（x-1）-（x-1）²]≤$\frac{k}{x}$恒成立
?k≥$\frac{\sqrt{5}}{5}$（x³-3x²+2x），x∈（1，2]．
令t（x）=x³-3x²+2x，x∈（1，2]．则t′（x）=3x²-6x+2=3（x-1）²-1，
当x∈（1，1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$）时，t（x）单调递减，当x∈（1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，2]时，t（x）单调递增，
t（x）_max=t（2）=0，
∴k≥0（当且仅当x=2时取“=”）；
③当x∈（2，3]时，x-2∈[0，1]，令x-2=t∈（0，1]，
则k≥$\frac{1}{5}$（t+2）（t-t²）=g（t），在t∈（0，1]恒成立．
g′（t）=-$\frac{1}{5}$（3t²+2t-2）=0可得，存在t₀∈[$\frac{1}{2}$，1]，函数在t=t₀时取得最大值．
而t₀∈[$\frac{1}{2}$，1]时，h（t）-g（t）=（t²-t³）+$\frac{1}{5}$（t+2）（t²-t）=$\frac{2}{5}$t（1-t）（2t-1）＞0，
所以，h（t）_max＞g（t）_max，
当k≥$\frac{4}{27}$时，k≥h（t）_max＞g（t）_max成立，
综上所述，k≥0，即k_min=0．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查分段函数的应用，突出考查分类讨论思想、函数方程思想及等价转化思想的综合运用，属于难题．