Question

10．设f（x）=|x+1|+|x-1|．
（1）求f（x）≤x+2的解集；
（2）若不等式f（x）≤log₂（a²-4a+12）对任意实数a恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由零点分段法进行分类讨论，可以解得f（x）≤x+2的解集；
（2）将不等式f（x）≤log₂（a²-4a+12）对任意实数a恒成立的条件转化为f（x）≤3，代入即可得出a的取值范围．

解答 解：（1）由f（x）≤x+2得|x+1|+|x-1|≤x+2
∵$\left\{{\begin{array}{l}{x≤-1}\\{1-x-（x+1）≤x+2}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{-1＜x＜1}\\{1-x+x+1≤x+2}\end{array}}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x-1+x+1≤x+2}\end{array}\right.$…3 分
解得0≤x≤2…4 分
∴f（x）≤x+2的解集为{x|0≤x≤2}…6 分
（2）∵a²-4a+12=（a-2）²+8≥8，∴${log_2}（{a^2}-4a+12）≥3$…8 分
故$f（x）≤{log_2}（{a^2}-4a+12）$恒成立等价于f（x）≤3…（9分）
即|x+1|+|x-1|≤3，易得$-\frac{3}{2}≤x≤\frac{3}{2}$…（11分）
∴x的范围是$\{x|-\frac{3}{2}≤x≤\frac{3}{2}\}$…12 分

点评 本题考查绝对值不等式的求解方法，考查学生灵活转化问题的能力，属于中档题．