Question

设z=2x+y，变量x，y满足条件

x-4y≤-3 3x+5y≤25 x≥1.

（1）求z的最大值z_max与最小值z_min；
（2）已知a＞0，b＞0，2a+b=z_max，求ab的最大值及此时a，b的值；
（3）已知a＞0，b＞0，2a+b=z_min，求

1

a

+

1

b

的最小值及此时a，b的值．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）画出约束条件表示的可行域，判断目标函数的几何意义，即可求解z的最大值z_max与最小值z_min；
（2）通过a＞0，b＞0，2a+b=z_max，得到关系式，然后利用基本不等式即可求ab的最大值及此时a，b的值；
（3）通过a＞0，b＞0，2a+b=z_min，得到关系式，化简

1

a

+

1

b

为1+

2a

3b

+

b

3a

，利用基本不等式即可求解最小值及此时a，b的值．

解答： 解：（1）满足条件

x-4y≤-3 3x+5y≤25 x≥1.

的可行域如图
…（2分）
将目标函数z=2x+y变形为y=-2x+z，它表示斜率为-2的直线，观察图形，可知当直线过点A时，z取得最大值，当直线过点B时，z取得最小值．
由

x-4y+3=0 3x+5y-25=0

解得A（5，2），所以z_max=12．…（3分）
由

x-4y+3=0 x=1

解得B（1，1），所以z_min=3．…（4分）
（2）∵2a+b=12，又2a+b≥2

2a•b

，
∴2

2ab

≤12，∴ab≤18．…（6分）
当且仅当2a=b，即a=3，b=6时等号成立．
∴ab的最大值为18，此时a=3，b=6
（3）∵2a+b=3，
∴

1

a

+

1

b

=(

1

a

+

1

b

)(2a+b)=1+

2a

3b

+

b

3a

…（10分）≥1+2

2a 3b • b 3a

=1+

2 2

3

，…（11分）
当且仅当

2a

3b

=

b

3a

，即a=

6-3 2

2

，b=3

2

-3时，等号成立．
∴

1

a

+

1

b

的最小值为1+

2 2

3

，此时a=

6-3 2

2

，b=3

2

-3．…（12分）

点评：本题考查线性规划的应用，基本不等式求解表达式的最值，基本知识的考查．