Question

已知圆C：x²+y²-4x-14y+45=0．
（1）若M是圆C上任意一点，点Q（-2，3），求|MQ|的最大值与最小值．
（2）求μ=x-2y的最大值与最小值．
（3）求ν=

y-3

x+2

的最大值．

Answer 1

考点：圆方程的综合应用

专题：计算题,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）将圆C：x²+y²-4x-14y+45=0可化为（x-2）²+（y-7）²=8，从而确定圆心与半径，从而得到点Q在圆外，从而求|MQ|的最大值与最小值．
（2）由直线u=x-2y与圆C有公共点可得

|2-2×7-μ|

12+22

≤2

2

，从而求最值；
（3）ν=

y-3

x+2

的几何意义是圆上一点M（x，y）与A（-2，3）连线的斜率，则当直线y-νx-2ν-3=0与圆C相切时ν取的最值，与（2）相同．

解答： 解：（1）将圆C：x²+y²-4x-14y+45=0可化为
（x-2）²+（y-7）²=8，
则圆心C（2，7），半径r=2

2

，
又∵Q（-2，3），
∴|QC|=4

2

，
∴点Q在圆外，
则由|QC|-2

2

≤|MQ|≤|QC|+2

2

得，
|MQ|max=6

2

，|MQ|min=2

2

．
（2）∵直线u=x-2y与圆C有公共点，
∴

|2-2×7-μ|

12+22

≤2

2

，
∴-2

10

-12≤μ≤2

10

-12．
∴μ=x-2y的最大值为2

10

-12，最小值为-2

10

-12．
（3）ν=

y-3

x+2

的几何意义是圆上一点M（x，y）与A（-2，3）连线的斜率，
则当直线y-νx-2ν-3=0与圆C相切时ν取的最值，
则

|7-2ν-2ν-3|

1+ν2

=2

2

，
解得ν=2-

3

或2+

3

，
则Vmax=2+

3

．

点评：本题考查了直线与圆，点与圆的位置关系，点在圆外时d-r≤|MQ|≤d+r，从而求最值，直线与圆相切时有最值，属于中档题．