Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P在面对角线AC上运动，给出下列命题：
①D₁P∥平面A₁BC₁
②D₁P⊥BD
③平面PDB₁⊥平面A₁BC₁
④三棱锥A₁-BPC₁的体积不变．
则其中所以正确的命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：利用面面平行的判定定理与性质定理，面面垂直的判定定理与三棱锥体积轮换公式对①②③④四个选项逐一分析判断即可．

解答： 解：①，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁A∥C₁B，D₁A?平面A₁BC₁，C₁B?平面A₁BC₁，
∴D₁A∥平面A₁BC₁，
同理可证，D₁C∥平面A₁BC₁，D₁A∩D₁C=D₁，
∴平面D₁AC∥平面A₁BC₁，又D₁P?平面D₁AC，
∴D₁P∥平面A₁BC₁，故①正确；
②，当点P为AC与BD的交点时，BD⊥平面BDD₁，D₁P?平面BDD₁，这时，D₁P⊥BD，除此之外，D₁P不与BD垂直，故②错误；
③，∵DB₁在平面A₁B₁C₁D₁上的射影为B₁D₁，B₁D₁⊥A₁C₁（正方形的两条对角线互相垂直），
DB₁在平面BB₁C₁C的射影为B₁C，B₁C⊥BC₁（正方形的两条对角线互相垂直），
由三垂线定理的逆定理可知，B₁D⊥A₁C₁，B₁D⊥BC₁，A₁C₁∩BC₁=C₁，
∴B₁D⊥平面A₁BC₁，B₁D?平面PDB₁，
∴平面PDB₁⊥平面A₁BC₁，故③正确；
④，设正方体的边长为1，点B到平面A₁BC₁的距离就是点B到平面A₁ACC₁的距离，为

1

2

BD=

2

2

，S△A1PC1=

1

2

A₁C₁•h=

1

2

×

2

×1=

2

2

，
∵VA1-BPC1=VB-A1PC1=

1

3

S△A1PC1•

1

2

BD=

1

6

×(

2

2

)2=

1

12

，为定值，故④正确．
故答案为：①③④．

点评：本题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系及体积，突出考查面面平行的判定定理与性质定理，考查面面垂直的判定定理，考查几何体的体积运算，属于难题．