Question

设函数y=f（x），且lg（lgy）=lg3x+lg（3-x）
（1）求函数y=f（x）的解析式及定义域；
（2）讨论函数y=f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（1）根据对数的运算法则，可得lg（lgy）=lg[3x（3-x）]（0＜x＜3），注意函数的定义域，即lgy=3x（3-x），再利用指数和对数的互化即可求得求f（x）的解析式，定义域；
（2）根据复合函数的单调性进行判断，根据“同增异减”的法则，分别研究内外函数的单调性，从而确定函数f（x）的单调性．

解答：解：（1）∵lg（lgy）=lg3x+lg（3-x）
∴lg（lgy）=lg3x+lg（3-x）=lg[3x（3-x）]（0＜x＜3），
∴lgy=3x（3-x），
∴f（x）=10^3x（3-x），x∈（0，3）；
（2）由（1）可知，f（x）=10^3x（3-x），x∈（0，3），
令u=3x（3-x）=-3（x-

3

2

）²+

27

4

，
对称轴为x=

3

2

，根据二次函数的性质，
u在（0，

3

2

]上单调递增，在[

3

2

，3）上单调递减，
∵y=10^u是R上的增函数，
∴f（x）在（0，

3

2

]上单调递增，在[

3

2

，3）上单调递减．

点评：本题考查了求函数的解析式，求函数解析式常见的方法有：待定系数法，换元法，凑配法，消元法等．考查了函数的定义域及其求法，对于函数的定义域是指使得函数的解析式有意义的取值范围，要熟悉基本初等函数的定义域以及常见函数的限制条件．同时考查了函数单调性的判断与证明，注意一般单调性的证明选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．属于中档题．