Question

【题目】如图： 为所在平面外一点， ， ， ， 平面于.求证：

（1）是的垂心；

（2）为锐角三角形.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】试题分析：(1) 连接并延长交与点由三条侧棱， 两两垂直可以得到平面,进而得到 ,由平面 ,可得 ,故∴平面,

,即可得, 同理可证： ， ，可得是的垂心.
(2)可以通过余弦定理解决.

试题解析：证明：（1）连接并延长交与点，连接.

∵， ，

∴img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2017/12/29/14/092b1670/SYS201712291412523815724471_DA/SYS201712291412523815724471_DA.027.png" width="39" height="17" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />平面

∵直线在平面内

∴

又∵平面

∴

又

∴平面

又∵直线在平面内

∴

连接并延长交与点，连接；连接并延长交与点，连接.

同理可证： ，

故是的垂心.

（2）设， ， ，则， ， .

∵

∴为锐角.

同理可证： 也为锐角

故证得为锐角三角形.

点晴：本题考查是空间的直线与平面的垂直问题和三角形是锐角三角形的证明.第一问充分借助已知条件与判定定理,证明直线与平面垂直，得直线与直线垂直，从而得是的垂心.关于第二问中的三角形是锐角三角形问题,解答时可以通过设边，由， ， ，则， ， ，然后用余弦定理解决.