Question

20．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R，a≠0），f（-2）=f（0）=0，f（x）的最小值为-1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数h（x）=log₂[n-f（x）]，若此函数在定义域范围内不存在零点，求实数n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数的最小值为-1，判断a的符号，推出a=1，求解函数的解析式；
（2）解1：过函数h（x）=log₂[n-f（x）]在定义域内不存在零点，必须且只须有n-f（x）＞0有解，且n-f（x）=1无解．推出n＞f_min（x），然后求解n的取值范围．
（2）解2..$h（x）={log_2}（-{x^2}-2x+n）$，令t=-x²-2x+n=-（x+1）²+n+1，转化为log₂（n+1）＜0，求出 n的取值范围即可．

解答 解：（1）由题意设f（x）=ax（x+2），
∵f（x）的最小值为-1，
∴a＞0，且f（-1）=-1，∴a=1，
∴f（x）=x²+2x．
（2）解1，函数h（x）=log₂[n-f（x）]在定义域内不存在零点，必须且只须有n-f（x）＞0有解，且n-f（x）=1无解．
∴n＞f_min（x），且n不属于f（x）+1的值域，
又∵f（x）=x²+2x=（x+1）²-1，
∴f（x）的最小值为-1，f（x）+1的值域为[0，+∞），
∴n＞-1，且n＜0
∴n的取值范围为（-1，0）．
（2）解2.$h（x）={log_2}（-{x^2}-2x+n）$
令t=-x²-2x+n=-（x+1）²+n+1，
必有0＜t≤n+1，得h（x）≤log₂（n+1），
因为函数h（x）=log₂[n-f（x）]在定义域内不存在零点，所以log₂（n+1）＜0，
得n+1＜1，即n＜0，又n＞-1（否则函数定义域为空集，不是函数）
所以；  n的取值范围为（-1，0）．

点评 本题考查二次函数的简单性质的应用，函数的最值的求法，考查计算能力．