Question

如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点．

（Ⅰ）证明 平面EDB；
（Ⅱ）求EB与底面ABCD所成的角的正切值．

Answer 1

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.

试题分析：（Ⅰ）令AC、BD交于点O，连接OE，证明OE∥AP，即可证明AP∥面BDE；（Ⅱ）先找到直线与平面所成的角，令F是CD中点，又E是PC中点，连结EF，BF，可以证明EF⊥面ABCD，故∠EBF为面BE与面ABCD所成的角，在Rt⊿BEF中求出其正切值.
试题解析：（Ⅰ）令AC、BD交于点O，连接OE,∵O是AC中点，又E是PC中点
∴ OE∥AP                                  3分
又OE面BDE，AP面BDE                  5分
∴AP∥面BDE                                    6分
（Ⅱ）令F是CD中点，又E是PC中点，连结EF，BF
∴EF∥PD，又PD⊥面ABCD
∴EF⊥面ABCD                                   8分
∴∠EBF为面BE与面ABCD所成的角.
令PD=CD=2a
则CD="EF=a," BF=                  10分
在Rt⊿BEF中，
故BE与面ABCD所成角的正切是.              12分