Question

如图,已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥DB,AC与BD相交于点O,且顶点P在底面上的射影恰为O点,又BO=2,PO=,PB⊥PD.

(1)求异面直线PD与BC所成角的余弦值;

(2)求二面角P-AB-C的大小;

(3)设点M在棱PC上,且=λ,问λ为何值时,PC⊥平面BMD?

Answer 1

解:∵PO⊥平面ABCD,∴PO⊥BD.又PB⊥BD,BO=,PO=2,

由平面几何知识,得OD=OC=1,BO=AO=2,

以O为原点,OA,OB,OP分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标为O(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C(-1,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,2).

(1)∵=(0,-1,-2),=(-1,-2,0),∴||=,||=,·=2.

∴cos〈,〉==.

故直线PD与BC所成的角的余弦值为.

(2)设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z).

由于=(-2,2,0),=(-2,0,2),由得

取n=(1,1,2),又易知平面ABCD的一个法向量m=(0,0,1),∴cos〈m,n〉=.

又二面角PABC不是锐角,∴所求二面角PABC的大小为45°.

(3)设M(x₀,0,z₀),由于P,M,C三点共线,z₀=x₀+,∵PC⊥平面BMD,①

∴OM⊥PC.∴(-1,0,-)·(x₀,0,z₀)=0.∴x₀+z₀=0.②

由①②知x₀=,z₀=.∴M=(,0,).∴λ==2.

故λ=2时,PC⊥平面BMD.