Question

17．已知函数f（x）=|2x-1|+|x-a|．
（1）当a=-1时，解不等式f（x）≥4；
（2）若f（x）=|x-1+a|，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a的值带入f（x），通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；
（2）求出f（x）的最小值，根据绝对值不等式成立条件得到当且仅当（2x-1）（x-a）≤0，通过讨论a的范围求出x的范围即可．

解答 解：（1）当a=-1时，
$f（x）=|{2x-1}|+|{x+1}|=\left\{\begin{array}{l}-3x（x≤-1）\\-x+2（-1＜x＜\frac{1}{2}）\\ 3x（x≥\frac{1}{2}）\end{array}\right.$，
当x≤-1时，-3x≥4，此时$x≤-\frac{4}{3}$，
当$-1＜x＜\frac{1}{2}$时，-x+2≥4，x无解
当$x≥\frac{1}{2}$时，3x≥4，此时$x≥\frac{4}{3}$，综上：$x≤-\frac{4}{3}$或$x≥\frac{4}{3}$
不等式解集为$\left\{{x\left|{\;}\right.x≤-\frac{4}{3}或x≥\frac{4}{3}}\right\}$
（2）因为|2x-1|+|x-a|≥|（2x-1）-（x-a）|=|x-1+a|
由绝对值不等式成立条件可知：
当且仅当（2x-1）（x-a）≤0时成立
当$a＞\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{2}≤x≤a$
当$a=\frac{1}{2}$时，$x=\frac{1}{2}$
当$a＜\frac{1}{2}$时，$a≤x≤\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题．