Question

已知函数f（x）=2sin（2x+

π

3

）+1
（1）若函数y=f（x）的图象关于直线x=t（t＞0）对称，求t的最小值；
（2）若存在x₀∈[-

π

12

，

π

6

]，使得mf（x₀）-2=0成立，求实数m的取值范围；
（3）若存在区间[a，b]（a，b∈R且a＜b），使得y=f（x）在[a，b]上至少含有6个零点，在满足上述条件的[a，b]中，求b-a的最小值．

Answer 1

考点：正弦函数的单调性,根的存在性及根的个数判断,正弦函数的定义域和值域

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）令2x+

π

3

=kπ+

π

2

解得x可得所有的对称轴，结合条件可得t的最小值；（2）由x₀的范围可得f（x₀）的范围，进而可得m的不等式，解不等式可得；（3）由题意可得x=kπ-

π

4

或x=

7π

12

，k∈Z，即f（x）的零点间依次为

π

3

和

2π

3

，可得b-a的最小值为2×

2π

3

+3×

π

3

，计算可得．

解答： 解：（1）令2x+

π

3

=kπ+

π

2

可得x=

kπ

2

+

π

12

，k∈Z，
∴函数y=f（x）的图象的对称轴为x=

kπ

2

+

π

12

，k∈Z，
取k=0可得t的最小值为

π

12

；
（2）当x₀∈[-

π

12

，

π

6

]时，2x₀+

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，
∴sin（2x₀+

π

3

）∈[

1

2

，1]，∴f（x₀）∈[2，3]
要使mf（x₀）-2=0成立，只需f（x₀）=

2

m

，即

2

m

∈[2，3]
解得m∈[

2

3

，1]；
（3）由f（x）=2sin（2x+

π

3

）+1=0可得sin（2x+

π

3

）=-

1

2

，
∴2x+

π

3

=2kπ-

π

6

，或2x+

π

3

=2kπ-

5π

6

，
解得x=kπ-

π

4

或x=

7π

12

，k∈Z，
即f（x）的零点间依次为

π

3

和

2π

3

，
要使y=f（x）在[a，b]上至少含有6个零点，
结合图象可知b-a≥2T+

π

3

=

7π

3

．
∴b-a的最小值为

7π

3

．

点评：本题考查三角函数的性质和图象，涉及根的个数的判断，属中档题．