Question

已知函数f（x）=sin2x+cos（2x-

π

6

），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，b=

13

，B为锐角，且f（B）=

3

2

，求边c的长．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,余弦定理

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，进而根据周期公式求得函数的最小正周期．
（2）根据f（B）=

3

2

求得B，进而根据余弦定理求得c．

解答： 解：（1）f(x)=sin2x+cos2x•

3

2

+sin2x•

1

2

=sin2x•

3

2

+cos2x•

3

2

=

3

sin(2x+

π

6

)．                
∴f（x）的最小正周期T=

2 π

2

= π．                         
（2）∵f(B)=

3

2

，  ∴sin(2B+

π

6

)=

1

2

．    
又∵x∈(0，

π

2

)， ∴2x+

π

6

∈(

π

6

，

7π

6

)，
∴2B+

π

6

=

5π

6

，故B=

π

3

．       
在△ABC中，由余弦定理，得b²=a²+c²-2accosB，
即13=1+c2-2×1×c×

1

2

．
∴c²-c-12=0，解得c=4或c=-3（舍去）．
∴c=4．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理的应用，三角函数基本性质．注重了对学生基础知识的考查．