Question

已知数列{a_n}，a₁=2，a_n=2

2Sn-1

+2，S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求b_n=

2

anan-1

的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出2

2Sn-1

=a_n-2，且a_n≥2．由此求出（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0．从而得到数列{a_n}是首项为2，公差为1的等差数列，进而能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b_n=

2

anan-1

=

2

(n+1)n

=2（

1

n

-

1

n+1

），利用裂项求和法能求出b_n=

2

anan-1

的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}，a₁=2，a_n=2

2Sn-1

+2，
∴2

2Sn-1

=a_n-2，且a_n≥2．
8S_n-1=an2-4an+4，
∴8S_n=an+12-4a_n+1+4，
∴8a_n=（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）-4a_n+1+4a_n，
∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0．
∵a_n≥2，∴a_n+1-a_n=1，
∴数列{a_n}是首项为2，公差为1的等差数列，
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1．
（2）∵b_n=

2

anan-1

=

2

(n+1)n

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴T_n=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=2（1-

1

n+1

）
=

2n

n+1

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．