Question

16．已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+2n，n∈N*，令b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，则{b_n} 的前n项和T_n$\frac{n}{3（2n+3）}$．

Answer 1

分析 由题意易得a_n=2n+1（n∈N），进而可得b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），由裂项相消法可得结果

解答 解：∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²+2n，
∴n=1时，a₁=3；
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n+1，
∴a_n=2n+1（n∈N^*），
∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），
T_n=b₁+b₂+…b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+3}$）=$\frac{n}{3（2n+3）}$，
故答案为：$\frac{n}{3（2n+3）}$．

点评 本题考查等差数列的前n项和与通项公式的关系，涉及裂项相消法求数列的和，属中档题．