Question

已知0＜a＜4，函数f（x）=|

x-a

x+2a

|，若存在直线l₁，l₂与函数y=f（x），x∈（0，4）的图象相切，l₁⊥l₂，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：先研究原函数的单调性，然后确定该函数的切线可能存在的区间，最后利用斜率之积为-1确定字母a的范围，注意转化与化归思想的应用．

解答： 解：易知当0≤x≤a时，f(x)=

a-x

x+2a

，此时f′(x)=

-3a

(x+2a)2

＜0，故函数在（0，a）上递减；
当x＞a时，f(x)=

x-a

x+2a

，此时f′(x)=

3a

(x+2a)2

＞0，故函数在（a，+∞）上递增．
因此若a≥4，则f（x）在（0，4）上递减；若0＜a＜4，则f（x）在（0，a）上递减，在（a，4）递增．
显然当a≥4时，不会存在满足题意的直线l₁，l₂．
当0＜a＜4时，由题意应存在x₁∈（0，a），x₂∈（a，4），使得f（x）在这两点处的切线互相垂直．
即满足f′（x₁）•f′（x₂）=-1．
即

-3a

(x1+2a)2

•

3a

(x2+2a)2

=-1．
所以x1+2a=

3a

x2+2a

①
因为x₁∈（0，a），x₂∈（a，4），
所以x1+2a∈(2a，3a)，

3a

x2+2a

∈(

3a

4+2a

，1)．
所以①成立等价于A=（2a，3a）与B=(

3a

4+2a

，1)的交集非空．
因为

3a

4+2a

＜3a，所以当且仅当0＜2a＜1，即0＜a＜

1

2

时A∩B≠∅．
故存在a∈(0，

1

2

)，使得满足题意的直线l₁，l₂存在．
故答案为（0，

1

2

）．

点评：本题是一道高考压轴题改编的填空题，难度较大，需要较高的分析和解决问题的能力．