Question

（2010•湖北模拟）已知数列|a_n|满足：an=n+1+

8

7

an+1，且存在大于1的整数k使ak=0，m=1+

8

7

a1．
（1）用a₃表示m（不必化简）
（2）用k表示m（化成最简形式）
（3）若m是正整数，求k与m的值．

Answer 1

分析：（1）根据数列|a_n|满足：an=n+1+

8

7

an+1，逐一迭代可求；
（2）由于m=1+2×

8

7

+3×(

8

7

)2+…+k×(

8

7

)k-1，所以

8

7

m=1×

8

7

+2×(

8

7

)2+3×(

8

7

)3+…+k×(

8

7

)k，错位相减可求；
（3）由（2）知m=49+(k-7)×

8k

7k-1

，因为，k＞1时，|k-7|＜7^n-1，根据m∈N^*故此有k-7=0，从而可求．

解答：解：（1）m=1+

8

7

a1=1+

8

7

(2+

8

7

a2)
=1+2×

8

7

+(

8

7

)2a2
=1+2×

8

7

+(

8

7

)2[3+

8

7

a3]
=1+2×

8

7

+3×(

8

7

)2+(

8

7

)3a3…（4分）
（2）m=1+2×

8

7

+3×(

8

7

)2+…+k×(

8

7

)k-1①…（6分）
∴

8

7

m=1×

8

7

+2×(

8

7

)2+3×(

8

7

)3+…+k×(

8

7

)k②
由①-②得-

1

7

m=1+1×

8

7

+(

8

7

)2+…+(

8

7

)k-1-k×(

8

7

)k…（8分）
∴-

1

7

m=

( 8 7 )k-1

8 7 -1

-k×(

8

7

)k∴m=49+(k-7)×

8k

7k-1

…（10分）
（3）由k＞1知|k-7|＜7^n-1
又∵m∈N^*故此有k-7=0
故k=7，m=49…（13分）

点评：本题的考点是数列递推式，主要考查迭代法，考查错位相减法求数列的和，关键是题意的等价转化．