Question

已知函数f（x）=1-

4

2ax+a

（a＞0，且a≠1）是定义在（-∞，+∞）上的奇函数．
（1）求实数a；
（2）求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数的值域

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由于f（x）是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，则f（0）=0，即可求出a，注意检验；
（2）f（x）=1-

2

2x+1

，运用指数函数的值域，即有2^x+1＞1，再由不等式的性质，即可得到值域．

解答： 解：（1）由于f（x）是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，
则f（0）=0，即1-

4

2a0+a

=0，解得，a=2．
即有f（x）=1-

4

2•2x+2

=

2x-1

2x+1

，
f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-f（x），
则有f（x）为奇函数．
故a=2；
（2）f（x）=1-

2

2x+1

，
由于2^x+1＞1，则-2＜

-2

2x+1

＜0，
则f（x）∈（-1，1），
故值域为：（-1，1）．

点评：本题考查函数的奇偶性及运用，考查函数的值域的求法，考查运算能力，属于中档题．