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    【题目】已知.

    (1)求函数的定义域；

    (2)求证：为偶函数；

    (3)指出方程的实数根个数，并说明理由.

    【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)两个，理由见解析.

    【解析】

    （1）根据对数函数的真数大于，列出不等式组求出的取值范围即可；

    （2）根据奇偶性的定义即可证明函数是定义域上的偶函数．

    （3）将方程变形为，即，设（），再根据零点存在性定理即可判断.

    解：（1）

    ，解得，即函数的定义域为；

    （2）证明：∵对定义域中的任意，

    都有

    ∴函数为偶函数；

    （3）方程有两个实数根，

    理由如下：

    易知方程的根在内，

    方程可同解变形为，即

    设（）.

    当时，为增函数，且，

    则在内，函数有唯一零点，方程有唯一实根，

    又因为偶函数，在内，函数也有唯一零点，方程有唯一实根，

    所以原方程有两个实数根.

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