Question

4．已知函数f（x）=sin（$\frac{π}{4}$+x）sin（$\frac{π}{4}$-x）+$\sqrt{3}$sinxcosx（x∈R）．
（1）求f（$\frac{π}{6}$）的值；
（2）在△ABC中，若f（A）=1，求sinB+sinC的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式与辅助角公式将f（x）=sin（$\frac{π}{4}$+x）sin（$\frac{π}{4}$-x）+$\sqrt{3}$sinxcosx化为：f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），即可求得f（$\frac{π}{6}$）的值；
（2）由A为三角形的内角，f（A）=sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1可求得A=$\frac{π}{6}$，从而sinB+sinC=sinB+sin（$\frac{5π}{6}$-B），展开后利用三角函数的辅助角公式即可求得sinB+sinC的最大值．

解答 （1）∵f（x）=sin（$\frac{π}{4}$+x）sin（$\frac{π}{4}$-x）+$\sqrt{3}$sinxcosx=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x，
sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴f（$\frac{π}{6}$）=1；
（2）f（A）=sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1，
而0＜A＜π可得：2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即A=$\frac{π}{6}$．
∴sinB+sinC=sinB+sin（$\frac{5π}{6}$-B）=$\frac{3}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{3}$）．
∵0＜B＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{3}$＜B+$\frac{π}{3}$＜π，0＜sin（B+$\frac{π}{3}$）≤1，
∴sinB+sinC的最大值为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，着重考查三角函数的辅助角公式的应用，考查分析与推理能力，属于中档题．