【题目】已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若,求证:
.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见证明
【解析】
(Ⅰ)利用导数与函数单调性的关系求解;
(Ⅱ)af(x)>lnx.令F(x)
,F′(x)
(x>0).
①当∈(0,1]时,F′(x)<0,F(x)单调递减,F(x)≥F(1)=ae>0;
②当>1时,令G(x),利用导数求得最小值大于0即可.
解.(1)f(x)的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞),
∵,
∴x∈(﹣∞,0),(0,1)时,f′(x)<0,x∈(1,+∞)时,f′(x)>0
∴函数f(x)的单调增区间为:(1,+∞),减区间为(﹣∞,0),(0,1).
(2)af(x)>lnx.
令F(x),
F′(x).(x>0).
①当x∈(0,1]时,F′(x)<0,F(x)单调递减,F(x)≥F(1)=ae>0;
②当x>1时,令G(x),G
.
∴G(x)在(1,+∞)单调递增,
∵x→1时,G(x)→﹣∞,G(2)=e20,
∴G(x)存在唯一零点0∈(1,2),
F(x)min=F(x0)
∵G(x0)=0,.
综上所述,当时,af(x)>lnx成立.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数).以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)若曲线上一点
的极坐标为
,且
过点
,求
的普通方程和
的直角坐标方程;
(2)设点,
与
的交点为
,求
的最大值.
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【题目】如图,在空间几何体ABCDFE中,底面是边长为2的正方形,
,
,
.
(1)求证:AC//平面DEF;
(2)已知,若在平面
上存在点
,使得
平面
,试确定点
的位置.
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【题目】“双十一网购狂欢节”源于淘宝商城(天猫)2009年11月11日举办的促销活动,当时参与的商家数量和促销力度均有限,但营业额远超预想的效果,于是11月11日成为天猫举办大规模促销活动的固定日期.如今,中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日”.某淘宝电商为分析近8年“双十一”期间的宣传费用(单位:万元)和利润
(单位:十万元)之间的关系,搜集了相关数据,得到下列表格:
(1)请用相关系数说明
与
之间是否存在线性相关关系(当
时,说明
与
之间具有线性相关关系);
(2)建立关于
的线性回归方程(系数精确到
),预测当宣传费用为
万元时的利润,
附参考公式:回归方程中
和
最小二乘估计公式分别为
,
,相关系数
参考数据:
,
,
,
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【题目】某校高二(20)班共50名学生,在期中考试中,每位同学的数学考试分数都在区间内,将该班所有同学的考试分数分为七个组:
,
,
,
,
,
,
,绘制出频率分布直方图如图所示.
(1)根据频率分布直方图,估计这次考试学生成绩的中位数和平均数;
(2)已知成绩为104分或105分的同学共有3人,现从成绩在中的同学中任选2人,则至少有1人成绩不低于106分的概率为多少?(每位同学的成绩都为整数)
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