定义在集合D上的函数如果同时满足下列条件:①在集合D上单调递减或递增.②存在区间使在上的值域是.那么.叫做闭函数. (1)求闭函数符合条件②的区间. (2)已知是闭函数.求实数的取值范围. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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定义在集合D上的函数如果同时满足下列条件：①在集合D上单调递减或递增。②存在区间使在上的值域是，那么，叫做闭函数。

（1）求闭函数符合条件②的区间。

（2）已知是闭函数，求实数的取值范围。

解：（1）由在上为减函数，得，可得，，

所求区间是．

（2）设函数符合条件②的区间为，则

，故，是方程的两个实根，

命题等价于有两个不等实根．

当时，解得，

；当时，这时，无解．

所以的取值范围是．

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科目：高中数学 来源： 题型：

已知f（x）是定义在集合D上的函数，且-1＜f′（x）＜0．
（1）若f(x)=-

+asinx，在[

，π]（[

，π]⊆D）上的最大值为

1-π

，试求不等式|ax+1|＜a的解集．
（2）若对于定义域中任意的x₁，x₂，存在正数ε，使|x₁-1|＜

且|x₂-1|＜

，求证：|f（x₁）-f（x₂）|＜ε．

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科目：高中数学 来源： 题型：

对于定义在集合D上的函数y=f（x），若f（x）在D上具有单调性，且存在区间[a，b]⊆D，使当x∈[a，b]时，f（x）的值域是[a，b]，则称函数f（x）是D上的正函数，区间[a，b]称为f（x）的“等域区间”．已知函数f（x）=

是[0，+∞）上的正函数，则f（x）的等域区间为

[0，1]

．

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科目：高中数学 来源： 题型：

对于定义在集合D上的函数y=f（x），若f（x）在D上具有单调性，且存在区间[a，b]⊆D（其中a＜b），使当x∈[a，b]时，
f（x）的值域是[a，b]，则称函数f（x）是D上的正函数，区间[a，b]称为f（x）的“等域区间”．
（1）已知函数f(x)=

是[0，+∞）上的正函数，试求f（x）的等域区间．
（2）试探究是否存在实数k，使函数g（x）=x²+k是（-∞，0）上的正函数？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

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科目：高中数学 来源： 题型：

设f（x）是定义在集合D上的函数，若对集合D中的任意两数x₁，x₂恒有f(

x1+

x2)＜

f(x1)+

f(x2)成立，则f（x）是定义在D上的β函数．
（1）试判断f（x）=x²是否是其定义域上的β函数？
（2）设f（x）是定义在R上的奇函数，求证：f（x）不是定义在R上的β函数．
（3）设f（x）是定义在集合D上的函数，若对任意实数α∈[0，1]以及集合D中的任意两数x₁，x₂恒有f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂），则称f（x）是定义在D上的α-β函数．已知f（x）是定义在R上的α-β函数，m是给定的正整数，设a_n=f（n），n=1，2，3…m且a₀=0，a_m=2m，记∫=a₁+a₂+a₃+…+a_m，对任意满足条件的函数f（x），求∫的最大值．

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科目：高中数学 来源： 题型：

对于定义在集合D上的函数y=f（x），若f（x）在D上具有单调性且存在区间[a，b]⊆D（其中a＜b）使当x∈[a，b]时，f（x）的值域是[a，b]，则称函数f（x）是D上的“正函数”，区间[a，b]称为f（x）的“等域区间”．
（1）已知函数f（x）=x³是正函数，试求f（x）的所有等域区间；
（2）若g(x)=

x+2

+k是正函数，试求实数k的取值范围；
（3）是否存在实数a，b（a＜b＜1）使得函数f(x)=|1-

|是[a，b]上的“正函数”？若存在，求出区间[a，b]，若不存在，说明理由．

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