Question

【题目】已知椭圆C： ，圆Q：x2+y2﹣4x﹣2y+3=0的圆心Q在椭圆C上，点P（0，1）到椭圆C的右焦点的距离为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P作直线l交椭圆C于A，B两点，若S△AQB=tan∠AQB，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为椭圆C的右焦点F（c，0），|PF|=2，所以 ，

因为Q（2，1）在椭圆C上，所以 ，

由a2﹣b2=3，得a2=6，b2=3，

所以椭圆C的方程为

（2）解：由S△AQB=tan∠AQB得： ，

即QAQBcos∠AQB=2，可得 ，

① 当l垂直x轴时， ，

此时满足题意，所以此时直线l的方程为x=0；

②当l不垂直x轴时，设直线l的方程为y=kx+1，

由 消去y得（1+2k2）x2+4kx﹣4=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），所以 ， ，

代入 可得：（x1﹣2，y1﹣1）（x2﹣2，y2﹣1）=2，

代入y1=kx1+1，y2=kx2+1，得 ，

代入化简得： ，解得 ，

经检验满足题意，则直线l的方程为x﹣4y+4=0，

综上所述直线l的方程为x=0或x﹣4y+4=0

【解析】（1）由点P（0，1）到椭圆C的右焦点的距离为2PF|=2，可得c，由Q（2，1）在椭圆C上，得 ，及a2﹣b2=3，得a2 ， b2 ， （2）由S△AQB=tan∠AQB得： ，即QAQBcos∠AQB=2，可得 ，再联立直线与椭圆方程，由韦达定理可求解．