Question

19．求下列方程的解集
（1）2sin²x-4sinxcosx+4cos²x=1
（2）4cos²x-2sinxcosx-1=0
（3）cos²x-4sin2x=sin²x-2cos2x．

Answer 1

分析 利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简求解方程的解集即可．

解答 解：（1）2sin²x-4sinxcosx+4cos²x=1，
可得-4sinxcosx+2cos²x+1=0
-2sin2x+cos2x+2=0，
$\sqrt{5}$sin（2x-θ）=2．（tan$θ=\frac{1}{2}$）
sin（2x-θ）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
2x-arctan$\frac{1}{2}$=2kπ+arcsin$\frac{2\sqrt{5}}{5}$或2x-arctan$\frac{1}{2}$=2kπ+π-arcsin$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．k∈Z．
解得方程的解集为：{x|x=kπ+$\frac{1}{2}$arctan$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$arcsin$\frac{2\sqrt{5}}{5}$或kπ+$\frac{π}{2}$-$\frac{1}{2}$arcsin$\frac{2\sqrt{5}}{5}$+$\frac{1}{2}$arctan$\frac{1}{2}$，k∈Z}
（2）4cos²x-2sinxcosx-1=0，
可得2cos2x-sin2x+1=0，
$\sqrt{5}$（$\frac{2}{\sqrt{5}}$cos2x-$\frac{1}{\sqrt{5}}$sin2x）=-1，
即$\frac{2}{\sqrt{5}}$cos2x-$\frac{1}{\sqrt{5}}$sin2x=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
cos（2x+arctan$\frac{1}{2}$）=$-\frac{\sqrt{5}}{5}$，
2x+arctan$\frac{1}{2}$=2kπ±arccos$\frac{\sqrt{5}}{5}$，k∈Z．
解得方程的解集为：{x|x=kπ$-\frac{1}{2}$arctan$\frac{1}{2}$±$\frac{1}{2}$arccos$\frac{\sqrt{5}}{5}$，k∈Z}．
（3）cos²x-4sin2x=sin²x-2cos2x．
可得-4sin2x=-3cos2x，
tan2x=$\frac{3}{4}$，
解得2x=kπ+arctan$\frac{3}{4}$．k∈Z．
方程的解集为：{x|x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{1}{2}$arctan$\frac{3}{4}$．k∈Z}．

点评 本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，三角方程的解法，考查计算能力．