Question

如图，在棱长为1的正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、P分别为A₁B₁、BB₁、CC₁的中点．
（1）证明D₁M、C₁B₁、CN三线共点；
（2）求异面直线D₁P与AM所成角度数并求CN与AM所成角的余弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）先说明D₁M∩CN=K，再说明K∈B₁C₁，从而D₁M、C₁B₁、CN三线共点；                                         
（2）利用平行线作出异面直线所成的角，再在三角形中计算．

解答： （1）证明：M、N分别为A₁B₁、BB₁的中点，∴MN∥A₁B，MN=

1

2

A₁B，∴MN∥D₁C，∴M、N、D₁、C共面，D₁M∩CN=K，D₁、M∈面，C、N∈面BC₁，面A₁C₁∩面BC₁=B₁C₁，∴K∈B₁C₁，D₁M、C₁B₁、CN三线共点；                                         
（2）解：连接A₁N，由题意，A₁N∥D₁P，异面直线D₁P与AM所成角即A₁N与AM所成角，由题意，Rt△AA₁M≌Rt△A₁B₁N，∴∠A₁MA=∠B₁NA₁
Rt△A₁B₁N中，∠B₁NA₁+∠B₁A₁N=90°，∴∠A₁MA+∠B₁A₁N=90°，即∠A₁FM=90°，∴异面直线D₁P与AM所成角度数90°；
G为AB中点，E为BG中点，EN∥AM，∠CNE即CN与AM所成角，在△CNE中，NE=

5

4

，CN=

5

2

，CE=

17

4

，cos∠CNE=

NE2+NC2-CE2

2NE•NC

=

2

5

点评：课题考查三线共点，及异面直线所成的角，相关定理、概念的熟练掌握是关键．