Question

已知是二次函数，不等式的解集是(0，5)，且在区间[-1，4]上的最大值是12．
（1）求f(x)的解析式；
（2）是否存在正整数m,使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）；（2）方程，
设，则.
当时，，是减函数；当时，，是增函数.
因为.所以方程在区间，内分别有唯一实数根，而区间，内没有实数根.所以存在唯一的正数，使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根.

解析试题分析：（1）由已知得0，5是二次函数的两个零点值，所以可设，开口方向向上，对称轴为，因此在区间上的最大值是，则，即，因此可求出函数的解析式；（2）由（1）得，构造函数，则方程的实数根转化为函数的零点，利用导数法得到函数减区间为、增区间为，又有，，，发现函数在区间，内分别有唯一零点，而在区间，内没有零点，所以存在唯一的正数，使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根.
（1）因为是二次函数，且的解集是，
所以可设    2分
所以在区间上的最大值是.    4分
由已知，得，..    6分
（2）方程，
设，则.    10分
当时，，是减函数；
当时，，是增函数.        10分
因为.
所以方程在区间，内分别有唯一实数根，而区间，内没有实数根.    12分
所以存在唯一的正数，使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根.     14分
考点：1.函数解析式；2.函数零点.