Question

3．O为△ABC内一点，且2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=0，△ABC和△OBC的面积分别是S_△ABC和S_△OBC，则$\frac{{S}_{△OBC}}{{S}_{△ABC}}$的比值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 可取AB的中点D，AC的中点E，然后画出图形，根据$2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$便可得到$\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{0}$，从而得出D，O，E三点共线，这样即可求出$\frac{{S}_{△OBC}}{{S}_{△ABC}}$的值．

解答 解：如图，取AB中点D，AC中点E，则：

$2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$
=$（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）+（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}）$
=$2\overrightarrow{OD}+2\overrightarrow{OE}$
=$\overrightarrow{0}$；
∴$\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{0}$；
∴D，O，E三点共线，DE为△ABC的中位线；
∴${S}_{△OBC}=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$；
∴$\frac{{S}_{△OBC}}{{S}_{△ABC}}=\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，向量的数乘运算，向量数乘的几何意义，三角形的面积公式．