Question

已知函数f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x）（其中a＞0且a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）的零点；
（3）解不等式f（x）＞0．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法,函数的定义域及其求法,函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数成立的条件即可求函数f（x）的定义域；
（2）根据函数零点的定义即可求函数f（x）的零点；
（3）根据对数不等式的解法即可解不等式f（x）＞0．

解答： 解：（1）要使函数有意义，则

1+x＞0 1-x＞0

．
解得：-1＜x＜1．
即f（x）的为定义域（-1，1）．
（2）令f（x）=0得，log_a（1-x）-log_a（1+x）=0，
∴1-x=1+x，解得x=0．
故函数的零点为0．
（3）由f（x）＞0，得log_a（1+x）＞log_a（1-x），
∴0＜a＜1时，0＜x+1＜1-x，解得：-1＜x＜0，
当a＞1时，x+1＞1-x＞0，解得：0＜x＜1，
即0＜a＜1时，f（x）＞0的解集为（-1，0）a＞1时，f（x）＞0的解集为（0，1）．

点评：本题主要考查对数函数性质的综合考查，根据对数函数的单调性是解决本题的关键．注意要对a进行分类讨论．