Question

已知集合A={x|（a-2）x²+2x+1=0}只有一个元素
（1）求实数a的值；
（2）若f（x）=x^a+x-a在区间[-2，-1]上是减函数，解不等式：f（-b^x）＜f（-b^x+1）（b＞0，b≠1）

Answer 1

考点：函数单调性的性质,元素与集合关系的判断

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用,集合

分析：（1）讨论a-2=0，a-2≠0，判别式为0，即可得到a；
（2）讨论a=2，3函数的单调性，判断得到a=2，再令t=-b^x（t＜0），转化为t的不等式，求出t的范围，再讨论b＞1，0＜b＜1，由指数函数的单调性，即可解得．

解答： 解：（1）集合A={x|（a-2）x²+2x+1=0}只有一个元素，
则当a-2=0，即a=2，A={-

1

2

}，满足条件；
当a-2≠0，则判别式为0，即有4-4（a-2）=0，解得，a=3，此时A={-1}，满足条件．
则a=2或3；
（2）若a=3，则f（x）=x³+x-3，f′（x）=3x²+1＞0，则f（x）递增，不满足条件，则a=3舍去；
若a=2，则f（x）=x²+x-2在区间[-2，-1]上是减函数，满足条件．
令t=-b^x（t＜0），则不等式f（-b^x）＜f（-b^x+1）即为f（t）＜f（1+t），
即有t²+t-2＜（1+t）²+1+t-2，解得，-1＜t＜0，
即有-1＜-b^x＜0，
即有0＜b^x＜1，
当b＞1时，解得，x＜0；当0＜b＜1时，x＞0．
则有b＞1时，不等式的解集为（-∞，0）；
当0＜b＜1时，不等式的解集为（0，+∞）．

点评：本题主要考查函数的单调性的运用，考查集合中元素的个数问题，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于基础题和易错题．