Question

20．设不等式ax²+bx+c＜0的解集是（-∞，1）∪（3，+∞），则不等式cx²+bx+a＞0的解集是（$\frac{1}{3}$，1）．

Answer 1

分析 由一元二次不等式和对应方程的关系，利用根与系数的关系，即可求出不等式cx²+bx+a＞0的解集．

解答 解：∵不等式ax²+bx+c＜0的解集为（-∞，1）∪（3，+∞），
∴a＜0，且3，1为方程ax²+bx+c=0的两根；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{a}=1+3}\\{\frac{c}{a}=1×3}\end{array}\right.$，
解得c=3a，b=-4a；
∴不等式cx²+bx+a＞0可化为3ax²-4ax+a＞0，
即3x²-4x+1＜0，
即（3x-1）（x-1）＜0，
解得$\frac{1}{3}$＜x＜1；
∴不等式cx²+bx+a＞0的解集是（$\frac{1}{3}$，1）．
故答案为：（$\frac{1}{3}$，1）．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法，以及一元二次方程的根与系数关系，容易出错的地方是忽略c的符号．