Question

15．已知三角形ABC中，AB=AC，AC边上的中线长为3，当三角形ABC的面积最大时，AB的长为（　　）

• A． $2\sqrt{5}$
• B． 3$\sqrt{6}$
• C． 2$\sqrt{6}$
• D． 3$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 设AB=AC=2x，三角形的顶角θ，则由余弦定理求得cosθ的表达式，进而根据同角三角函数基本关系求得sinθ，最后根据三角形面积公式表示出三角形面积的表达式，根据一元二次函数的性质求得面积的最大值时的x即可．

解答 解：设AB=AC=2x，AD=x．
设三角形的顶角θ，则由余弦定理得cosθ=$\frac{（2x）^{2}+{x}^{2}-9}{2×2x×x}$=$\frac{5{x}^{2}-9}{4{x}^{2}}$，
∴sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{144-9（{x}^{2}-5）^{2}}}{4{x}^{2}}$，
 根据公式三角形面积S=$\frac{1}{2}$absinθ=$\frac{1}{2}$×2x•2x•$\frac{\sqrt{144-9（{x}^{2}-5）^{2}}}{4{x}^{2}}$=$\frac{\sqrt{144-9（{x}^{2}-5）^{2}}}{2}$，
∴当 x²=5时，三角形面积有最大值．此时x=$\sqrt{5}$．
AB的长：2$\sqrt{5}$．
故选：A．

点评 本题主要考查函数最值的应用，根据条件设出变量，根据三角形的面积公式以及三角函数的关系是解决本题的关键，利用二次函数的性质即可求出函数的最值，考查学生的运算能力．运算量较大．