Question

8．已知函数f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1-x），其中（a＞0且a≠1），设h（x）=f（x）-g（x）．
（1）求h（x）的定义域；
（2）判断h（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）若a=log₃27+log2，求使f（x）＞1成立的x的集合．

Answer 1

分析 （1）利用对数函数的性质列出不等式求解函数的定义域．
（2）利用函数的奇偶性的定义判断即可．
（3）求出a，然后利用对数函数的单调性求解不等式即可．

解答 解：（1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，即-1＜x＜1．
∴h（x）=f（x）-g（x）的定义域为（-1，1）；
（2）∵对任意的x∈（-1，1），-x∈（-1，1）
h（-x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）=-h（x），
∴h（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）是奇函数；
（3）由a=log₃27+log2，得a=2．
f（x）=log_a（1+x）＞1，即log₂（1+x）＞log₂2，
∴1+x＞2，即x＞1．
故使f（x）＞1成立的x的集合为{x|x＞1}

点评 本题考查对数函数的定义域，奇偶性以及函数的单调性的应用，考查计算能力．