Question

若当-3＜x＜1时，不等式（1-a）x²-4x+6＞0恒成立，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：当x=0时，原不等式即是6＞0．成立．当x≠0时，原不等式两边同除以x²，可化为a＜

6

x2

-

4

x

+1=

6

x2

-

4

x

+1=6(

1

x

-

1

3

)2+

1

3

，令t=

1

x

，则t＜-

1

3

或t＞1，且a＜6(t-

1

3

)2+

1

3

，令f（t）=6(t-

1

3

)2+

1

3

，根据二次函数性质求其最小值即可．

解答： 解：当x=0时，不等式（1-a）x²-4x+6＞0显然成立，
当x≠0时，不等式（1-a）x²-4x+6＞0可化为，
a＜

6-4x

x2

+1，
即，a＜

6

x2

-

4

x

+1=

6

x2

-

4

x

+1=6(

1

x

-

1

3

)2+

1

3

，
∵-3＜x＜1且x≠0，
∴

1

x

＜-

1

3

或

1

x

＞1，
令t=

1

x

，则t＜-

1

3

或t＞1，且a＜6(t-

1

3

)2+

1

3

，
令f（t）=6(t-

1

3

)2+

1

3

，
则根据二次函数性质可知，
f（t）在(-∞，-

1

3

)上递减，在（1，+，∞）上递增，且f（-

1

3

）=f（1）=3，
∴f（t）＞3，
∵当-3＜x＜1时，不等式（1-a）x²-4x+6＞0恒成立，
∴a≤3．
故答案为：（-∞，3]．

点评：本题考查二次函数与一元二次不等式的关系，以及转化与化归的思想，属于中档题．