Question

如图，AB⊥平面BCD，BD⊥CD，若AB=BC=2BD，则二面角B-AC-D的正弦值为

 

．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间角

分析：取AC中点E，连EB，过E做AC的垂线交AD于F，由已知得△BFE是直角三角形，∠BEF是二面角B-AC-D的平面角，由此能求出二面角B-AC-D的正弦值．

解答： 解：取AC中点E，连EB，过E做AC的垂线交AD于F
设AB=2a，BC=2a，BD=a，AC=2

2a

，DC=

3a

，
在△ADC中，AF=

4 5

5

，
在△ABD中，AD⊥BF，
又DC⊥BD，由三垂线定理知AD⊥DC，
∴DC⊥面ABD 又BF?面ABD，
∴BF⊥DC，BF⊥面ADC，∴△BFE是直角三角形，
∠BEF是二面角B-AC-D的平面角，
sin∠BEF=

FB

EB

=

10

5

．
故答案为：

10

5

．

点评：本题考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．