Question

有下列命题：
①到定点的距离等于到定直线的距离点的轨迹为抛物线；
②设集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，则“a∈M”是“a∈N”的充分而不必要条件；
③曲线

x2

2sinθ+3

+

y2

sinθ-2

=1表示双曲线；
④直线l过双曲线

x2

4

-

y2

2

=1的焦点截双曲线的弦长为2的直线仅有一条．
则上述命题中真命题为

 

（填上序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：对于①，根据抛物线的定义进行判断；
对于②利用两集合间的包含关系转化为充分、必要性的关系；
对于③利用双曲线的标准方程满足的条件判断，即在此题方程形式下，只需前后两个分母异号即可；
对于④先算出焦点弦的长，和2比较即可．

解答： 解：①当定点落在定直线上时，该轨迹是一条过该点且与定直线垂直的射线，故①为假；
②因为N?M，a∈M不一定推出a∈N，所以前者是后者的不充分条件，故②为假；
③因为2sinθ∈[-2，2]，所以3+2sinθ＞0，易知sinθ-2＜0，所以（2sinθ+3）（sinθ-2）＜0，故该方程表示双曲线，故③为真；
④由题意得焦点为（±

6

，0），将x=

6

代入方程得y=±1，所以通径长为2，故直线l垂直于实轴，因此满足题意的直线只有1条，故④为真．
故答案为③④

点评：有关命题的考查一般以考查概念为主，题目可难可易，因此在做题时一定要在准确、深刻理解概念的基础上作答．