Question

18．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（π-ωx）-sin（$\frac{π}{2}$-ωx）（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（A）=2，求$\frac{b-2c}{a}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式，两角差的正弦函数公式可求函数解析式为f（x）=2sin（ωx-$\frac{π}{6}$），利用周期公式即可得解．
（2）由（1）可得2A-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，结合范围A∈（0，π），可得2A-$\frac{π}{6}$的范围，进而可求A的值，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得$\frac{b-2c}{a}$=-2cosB，结合范围B∈（0，$\frac{2π}{3}$），即可得解$\frac{b-2c}{a}$的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$sin（π-ωx）-sin（$\frac{π}{2}$-ωx）=$\sqrt{3}$sinωx-cosωx=2sin（ωx-$\frac{π}{6}$），
∴$\frac{2π}{ω}$=π，
∴解得：ω=2．
（2）∵由（1）可得：f（A）=2sin（2A-$\frac{π}{6}$）=2，
∴2A-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∵A∈（0，π），可得：2A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{11π}{6}$），
∴2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，解得：A=$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{b-2c}{a}$=$\frac{sinB-2sinC}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{2π}{3}$-B）=-2cosB，
∵B∈（0，$\frac{2π}{3}$），cosB∈（-$\frac{1}{2}$，1），-2cosB∈（-2，1），
∴$\frac{b-2c}{a}$=-2cosB∈（-2，1），即$\frac{b-2c}{a}$的取值范围为（-2，1）．

点评 本题主要考查了诱导公式，两角差的正弦函数公式可，周期公式，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了转化思想，熟练应用相关公式是解题的关键，属于中档题．