Question

【题目】已知数列的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列.数列前n项和为，且满足，.

（1）求数列的通项公式：

（2）若，求正整数m的值；

（3）是否存在正整数m，使得恰好为数列中的一项？若存在，求出所有满足条件的m值，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）或

【解析】

试题（1）数列通项分奇偶求：方法为待定系数法，注意项数，由可解得公差及公比，从而，，因此（2）由于数列通项分奇偶，因此从奇偶分别讨论：若则，解得；若，即，解得，舍（3）先求和 ，限定，而为正整数，即只能为，分类讨论得或.

试题解析：（1）设的公差为d.

的公比为，则

由

故

故4分

（2）由，若，则

即，即

若，即

即

为正整数

为正整数，即

即，此时式为不合题意

综上，. 9分

（3）若为中的一项，则为正整数

又

故若为中的某一项只能为

①若无解

②若，显然不符合题意，符合题意

当时，即，则

即为增函数，故，即为增函数

故，故当时方程无解

即是方程唯一解

③若即

综上所述，或. 16分