Question

9．在极坐标系中，点M的坐标为$（3，\frac{π}{2}）$，曲线C的方程为$ρ=2\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$；以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为-1的直线l经过点M．
（1）求直线l和曲线C的直角坐标方程；
（2）若P为曲线C上任意一点，曲线l和曲线C相交于A、B两点，求△PAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出点M的直角坐标为（0，3），从而直线方程为y=-x+3，由$ρ=2\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，能求出曲线C的直角坐标方程．
（2）求出圆心（1，1）到直线y=-x+3的距离，从而得到圆上的点到直线L的距离最大值，由此能求出△PAB面积的最大值．

解答 解：（1）∵在极坐标系中，点M的坐标为$（3，\frac{π}{2}）$，
∴x=3cos$\frac{π}{2}$=0，y=3sin$\frac{π}{2}$=3，
∴点M的直角坐标为（0，3），
∴直线方程为y=-x+3，…．（2分）
由$ρ=2\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，得ρ²=2ρsinθ+2ρcosθ，
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²-2x-2y=0，
即（x-1）²+（y-1）²=2…（5分）
（2）圆心（1，1）到直线y=-x+3的距离$d=\frac{{|{-1-1+3}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴圆上的点到直线L的距离最大值为$d+R=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
而弦$|{AB}|=2\sqrt{{R^2}-{d^2}}=2\sqrt{2-\frac{1}{2}}=\sqrt{6}$
∴△PAB面积的最大值为$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\frac{{3\sqrt{2}}}{2}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．…（10分）

点评 本题考查直线和曲线的直角坐标方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标、直角坐标的互化和点到直线的距离公式的合理运用．